第五章 定积分

第一节 定积分的概念与计算

一、知识结构

• 定积分的元素法
• 定积分的定义与几何意义
• 定积分的性质
• 积分上限的函数及其导数
• 牛顿—莱布尼茨公式
• 定积分的换元积分法
• 定积分的分部积分法

本节只整理定积分的概念、性质和计算公式。

二、定积分的概念

1. 定积分的元素法

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)\ge 0$。以曲线 $y=f(x)$、$x=a$、$x=b$ 和 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积为研究对象。

将区间 $[a,b]$ 任意分割成 $n$ 个小区间：

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b,$$

记第 $i$ 个小区间的长度为

$$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots ,n).$$

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内任取一点 ${\xi }_i$，用高为 $f({\xi }_i)$、底为 $\Delta x_i$ 的小矩形近似相应曲边梯形面积 $\Delta A_i$，则有：

1. 各小矩形面积之和为

   $$A=\sum _{i=1}^n\Delta A_i;$$

2. 每个小面积的近似值为

   $$\Delta A_i\approx f({\xi }_i)\Delta x_i,x_{i-1}\le {\xi }_i\le x_i;$$

3. 曲边梯形面积的近似值为

   $$A\approx \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i;$$

4. 记分割中各小区间长度的最大值为

   $$\lambda =\max \{\Delta x_1,\Delta x_2,\dots ,\Delta x_n\},$$

   当 $\lambda \to 0$ 时，若和式的极限存在，则

   $$A=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i.$$

这种把整体量分割成许多小量，先求和再取极限的思想称为元素法，也称微元法。

Graph定积分元素法：矩形近似

2. $\max$ 与 $\min$ 函数

$\max$ 函数表示两个数中的较大值，$\min$ 函数表示两个数中的较小值：

$$\max \{1,x\}=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 1,\\ 1,& x<1,\end{array}\min \{1,x\}=\{\begin{array}{ll}1,& x\ge 1,\\ x,& x<1.\end{array}$$

3. 定积分的定义

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界。在 $[a,b]$ 中任取分点

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b,$$

把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，小区间长度为

$$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots ,n).$$

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i$，作和式

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i.$$

记

$$\lambda =\underset{1\le i\le n}{\max }\{\Delta x_i\}.$$

如果当 $\lambda \to 0$ 时，和式的极限总存在，且极限值与区间的分法以及各点 ${\xi }_i$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，记作

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}.$$

其中：

• $[a,b]$ 称为积分区间；
• $a$ 称为积分下限；
• $b$ 称为积分上限；
• $x$ 称为积分变量；
• $f(x)$ 称为被积函数。

如果上述极限存在，则称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

Graph定积分的区间可加性

4. 定积分的存在定理

1. 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 必定存在。
2. 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 必定存在。

5. 定积分的几何意义

根据定积分的定义：

Graph定积分的几何意义：带符号面积

6. 常用几何型定积分

以下各式中 $a>0$：

$${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{a}^2;$$

积分区间为 $[-a,a]$，几何意义是半径为 $a$ 的上半圆面积。

$${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{4}{a}^2;$$

积分区间为 $[0,a]$，几何意义是半径为 $a$ 的四分之一圆面积。

$${\int }_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{a}^2;$$

积分区间为 $[0,2a]$，几何意义是圆心在 $(a,0)$、半径为 $a$ 的上半圆面积。

$${\int }_0^a\sqrt{2ax-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{4}{a}^2.$$

积分区间为 $[0,a]$，几何意义是上述平移圆的四分之一圆面积。

Graph常用几何型定积分：区间与面积

三、定积分的性质

以下各性质中，积分上下限的大小不作特别说明，并假定性质中所列定积分都存在。

性质 1：积分上下限互换

当 $a=b$ 时，

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0.$$

当 $a\ne b$ 时，

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x.$$

性质 2：常数因子提出

被积函数中的常数因子可以提到积分号外：

$${\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x=k{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

性质 3：函数和、差的积分

两个函数的和、差的定积分等于它们定积分的和、差：

$${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\pm {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$

该性质对有限个函数的和、差都成立。

性质 4：区间可加性

对于任意大小关系的 $a,b,c$，有

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x}.$$

性质 5：常数函数的积分

如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)=1$，则

$${\int }_a^{b}1\mathrm{d}x=b-a.$$

性质 6：非负函数的积分非负

如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，且 $a<b$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\ge 0.$$

推论 1：积分不等式

如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，且 $a<b$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$

推论 2：绝对值不等式

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\right|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x.$$

性质 7：估值定理

设 $M$ 和 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，且 $a<b$，则

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a).$$

性质 8：定积分中值定理

如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a),a\le \xi \le b.$$

这一定理也称积分中值定理。定积分的平均值为

$$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

9. 常用的函数大小关系

设 $m>n>0$：

1. 当 $0\le x\le 1$ 时，$x^m\le x^n$；当 $x\ge 1$ 时，$x^m\ge x^n$。
2. 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$\tan x>x>\sin x$。
3. 当 $1\le x\le e$ 时，$(\ln x{)}^m\le (\ln x{)}^n$；当 $x\ge e$ 时，$(\ln x{)}^m\ge (\ln x{)}^n$。

10. 三角函数复合积分的对称性

若 $f(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 上连续，则

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x.$$

令 $x=\frac{\pi }{2}-t$，则 $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$，积分上下限同时反向，故上式成立。

进一步，由 $\sin (\pi -x)=\sin x$，有

$${\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x.$$

11. 周期函数的定积分

若 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，即 $f(x+T)=f(x)$，则对任意 $a$ 有

$$\boxed{{\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x}.$$

设 $\Phi (a)={\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x$，则

$${\Phi }^{\prime }(a)=f(a+T)-f(a)=0,$$

所以 $\Phi (a)$ 为常数，且 $\Phi (a)=\Phi (0)$。

对 $n\in \mathbb{N}$，区间可加性给出

$$\boxed{{\int }_a^{a+nT}f(x)\mathrm{d}x=n{\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x}.$$

12. 三角函数幂积分

记

$$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x.$$

分部积分可得递推式

$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}(n\ge 2).$$

因此

$$I_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{ 为偶数},\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1,& n\text{ 为奇数}.\end{array}$$

例如 $I_4=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$，$I_5=\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1$。

四、微积分基本公式

0. 定积分对自变量求导

当积分上下限 $a,b$ 都是与 $x$ 无关的常数时，定积分的值也是常数，因此

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\right)=0}.$$

1. 积分上限的函数及其导数

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，积分上限的函数定义为

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b].$$

由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，函数 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且

$$\boxed{{\Phi }^{\prime }(x)={\left[{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\right]}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)}.$$

因此，若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

是 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数。

积分上限为复合函数时，设 $\phi (x)$ 可导且值域包含于 $[a,b]$，则

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{\phi (x)}f(t)\mathrm{d}t=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x).$$

积分下限为复合函数时，

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{\phi (x)}^{a}f(t)\mathrm{d}t=-f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x).$$

上下限都是复合函数时，

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)\mathrm{d}t=f({\phi }_2(x)){\phi }_2^{\prime }(x)-f({\phi }_1(x)){\phi }_1^{\prime }(x).$$

记忆要点：上限代入后乘上限导数，下限代入后乘下限导数并取负号。

2. 牛顿—莱布尼茨公式

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数，则

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)}.$$

牛顿—莱布尼茨公式也称积分基本公式，是连接定积分与原函数的桥梁。

使用该公式的必要条件是：被积函数 $f(x)$ 在积分区间上连续，并且能够找到它的一个原函数。

五、定积分的换元积分法

1. 定积分换元公式

假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，变量 $x=\phi (t)$ 满足：

1. $\phi (\alpha )=a$，$\phi (\beta )=b$；
2. $\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$（或 $[\beta ,\alpha ]$）上具有连续导数，且其值域包含于 $[a,b]$。

则有

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t}.$$

上式称为定积分的换元公式。

2. 换元时的注意事项

1. 换元后积分上下限要同时改变；
2. 求出 $f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$ 的一个原函数 $\Phi (t)$ 后，直接把新变量 $t$ 对应的上下限代入 $\Phi (t)$，再作差，不需要换回原变量；
3. 换元时要同时检查变量替换方向与上下限顺序。

3. 换元公式的逆用

令 $t=\phi (x)$，其中 $\alpha =\phi (a)$，$\beta =\phi (b)$，则

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t}.$$

六、定积分的奇偶性

设函数在对称区间 $[-a,a]$ 上可积。

1. 奇函数

若 $f(x)$ 为奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，则

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0}.$$

2. 偶函数

若 $f(x)$ 为偶函数，即 $f(-x)=f(x)$，则

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x}.$$

求对称区间上的定积分时，应先判断被积函数的奇偶性，再使用相应性质。

七、定积分的分部积分法

1. 分部积分公式

根据不定积分的分部积分法，若 $u(x)$、$v(x)$ 在区间上具有所需的连续导数，则

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x& ={\left[u(x)v(x)\right]}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)\mathrm{d}x.\end{array}$$

简记为

$$\boxed{{\int }_a^{b}u\mathrm{d}v={(uv)|}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u}.$$

也可写成

$$\boxed{{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x={(uv)|}_a^b-{\int }_a^{b}v{u}^{\prime }\mathrm{d}x}.$$

上述公式表明：原函数乘积的边界值减去交换微分后的定积分。定积分的分部积分法中，$u$ 与 $v^{\prime }$ 的选取原则与不定积分相同。

八、定积分记忆总表