三角函数

1. 角度制与弧度制

角度制中，一周角为：

$$360^\circ$$

弧度制中，一周角为：

$$2\pi$$

若圆弧长为 $l$，半径为 $r$，则圆心角的弧度数定义为：

$$\theta=\frac{l}{r}$$

常用换算：

$$180^\circ=\pi$$ $$360^\circ=2\pi$$ $$\theta^\circ=\theta\cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$ $$\theta\text{ rad}=\theta\cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$

在大学微积分中，三角函数的自变量默认使用弧度制。

2. 三角函数的定义

2.1 直角三角形定义

设直角三角形的锐角为 $\theta$，斜边为 $c$，对边为 $a$，邻边为 $b$。

则：

$$\sin\theta=\frac{a}{c}$$ $$\cos\theta=\frac{b}{c}$$ $$\tan\theta=\frac{a}{b}$$ $$\cot\theta=\frac{b}{a}$$ $$\sec\theta=\frac{c}{b}$$ $$\csc\theta=\frac{c}{a}$$

直角三角形定义只适合锐角。任意角的三角函数使用单位圆定义。

2.2 单位圆定义

在平面直角坐标系中，取单位圆：

$$x^2+y^2=1$$

角 $\theta$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则：

$$\cos\theta=x$$ $$\sin\theta=y$$

因此：

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad \left(\cos\theta\ne0\right)$$ $$\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad \left(\sin\theta\ne0\right)$$ $$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$$ $$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$

由单位圆方程得到基本关系：

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

3. 定义域与值域

其中：

$$k\in\mathbb Z$$

4. 象限符号

倒数函数与对应的原函数符号相同：

• $\sec x$ 与 $\cos x$ 同号。
• $\csc x$ 与 $\sin x$ 同号。

5. 奇偶性

正弦、正切、余切、余割是奇函数：

$$\sin(-x)=-\sin x$$ $$\tan(-x)=-\tan x$$ $$\cot(-x)=-\cot x$$ $$\csc(-x)=-\csc x$$

余弦、正割是偶函数：

$$\cos(-x)=\cos x$$ $$\sec(-x)=\sec x$$

6. 周期性

正弦、余弦、正割、余割的周期为 $2\pi$：

$$\sin(x+2k\pi)=\sin x$$ $$\cos(x+2k\pi)=\cos x$$ $$\sec(x+2k\pi)=\sec x$$ $$\csc(x+2k\pi)=\csc x$$

正切、余切的周期为 $\pi$：

$$\tan(x+k\pi)=\tan x$$ $$\cot(x+k\pi)=\cot x$$

7. 特殊角函数值

8. 六个基本函数图像

8.1 正弦函数

$$y=\sin x$$

关键点：

$$(0,0)$$ $$\left(\frac{\pi}{2},1\right)$$ $$(\pi,0)$$ $$\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)$$ $$(2\pi,0)$$

Graph正弦函数 y = sin x

性质：

• 定义域为 $\mathbb R$。
• 值域为 $[-1,1]$。
• 零点为 $x=k\pi$。
• 最大值为 $1$。
• 最小值为 $-1$。
• 周期为 $2\pi$。

8.2 余弦函数

$$y=\cos x$$

关键点：

$$(0,1)$$ $$\left(\frac{\pi}{2},0\right)$$ $$(\pi,-1)$$ $$\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$$ $$(2\pi,1)$$

Graph余弦函数 y = cos x

性质：

• 定义域为 $\mathbb R$。
• 值域为 $[-1,1]$。
• 零点为 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$。
• 最大值为 $1$。
• 最小值为 $-1$。
• 周期为 $2\pi$。

8.3 正切函数

$$y=\tan x$$

零点：

$$x=k\pi$$

渐近线：

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

Graph正切函数 y = tan x

性质：

• 定义域为 $x\in\mathbb R,\ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$。
• 值域为 $\mathbb R$。
• 周期为 $\pi$。
• 在每个定义区间上严格递增。

8.4 余切函数

$$y=\cot x$$

零点：

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

渐近线：

$$x=k\pi$$

Graph余切函数 y = cot x

性质：

• 定义域为 $x\in\mathbb R,\ x\ne k\pi$。
• 值域为 $\mathbb R$。
• 周期为 $\pi$。
• 在每个定义区间上严格递减。

8.5 正割函数

$$y=\sec x=\frac{1}{\cos x}$$

定义域排除：

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

值域：

$$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$$

Graph正割函数 y = sec x

性质：

• 图像位于 $y\le-1$ 或 $y\ge1$ 的区域。
• 渐近线为：

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

8.6 余割函数

$$y=\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

定义域排除：

$$x=k\pi$$

值域：

$$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$$

Graph余割函数 y = csc x

性质：

• 图像位于 $y\le-1$ 或 $y\ge1$ 的区域。
• 渐近线为：

$$x=k\pi$$

9. 图像变换

9.1 正弦型和余弦型

考虑：

$$y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$$

或：

$$y=A\cos(\omega x+\varphi)+B$$

其中：

• 振幅为 $|A|$。
• 中心线为 $y=B$。
• 最大值为：

$$B+|A|$$

• 最小值为：

$$B-|A|$$

• 周期为：

$$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$$

• 相位平移为：

$$-\frac{\varphi}{\omega}$$

• 值域为：

$$[B-|A|,B+|A|]$$

9.2 正切型

考虑：

$$y=A\tan(\omega x+\varphi)+B$$

周期为：

$$T=\frac{\pi}{|\omega|}$$

渐近线满足：

$$\omega x+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

所以：

$$x=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi-\varphi}{\omega}$$

10. 基本恒等式

10.1 倒数关系

$$\sec x=\frac{1}{\cos x}$$ $$\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

10.2 商关系

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ $$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

10.3 平方关系

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$ $$1+\tan^2x=\sec^2x$$ $$1+\cot^2x=\csc^2x$$

10.4 和差公式

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta} {1-\tan\alpha\tan\beta}$$ $$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta} {1+\tan\alpha\tan\beta}$$

10.5 二倍角公式

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$ $$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$$ $$\cos2x=1-2\sin^2x$$ $$\cos2x=2\cos^2x-1$$ $$\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$$

10.6 半角公式

$$\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2}$$ $$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}$$ $$\tan^2\frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$ $$\sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$$ $$\cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$$ $$\tan\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$$

10.7 降幂公式

$$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$$ $$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$$ $$\sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}$$

10.8 积化和差

$$\sin\alpha\sin\beta = \frac12[ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) ]$$ $$\cos\alpha\cos\beta = \frac12[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) ]$$ $$\sin\alpha\cos\beta = \frac12[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) ]$$ $$\cos\alpha\sin\beta = \frac12[ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) ]$$

10.9 和差化积

$$\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

11. 三角方程通解

11.1 正弦方程

若：

$$\sin x=\sin\alpha$$

则：

$$x=2k\pi+\alpha$$

或：

$$x=2k\pi+\pi-\alpha$$

11.2 余弦方程

若：

$$\cos x=\cos\alpha$$

则：

$$x=2k\pi\pm\alpha$$

11.3 正切方程

若：

$$\tan x=\tan\alpha$$

则：

$$x=k\pi+\alpha$$

11.4 余切方程

若：

$$\cot x=\cot\alpha$$

则：

$$x=k\pi+\alpha$$

其中：

$$k\in\mathbb Z$$

12. 反三角函数

12.1 反正弦函数

$$y=\arcsin x$$

定义域：

$$[-1,1]$$

值域：

$$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$

12.2 反余弦函数

$$y=\arccos x$$

定义域：

$$[-1,1]$$

值域：

$$[0,\pi]$$

12.3 反正切函数

$$y=\arctan x$$

定义域：

$$\mathbb R$$

值域：

$$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$

12.4 反余切函数

常用约定为：

$$y=\operatorname{arccot}x$$

定义域为：

$$\mathbb R$$

常用值域为：

$$(0,\pi)$$

13. 导数公式

以下公式均以弧度制为前提：

$$(\sin x)'=\cos x$$ $$(\cos x)'=-\sin x$$ $$(\tan x)'=\sec^2x$$ $$(\cot x)'=-\csc^2x$$ $$(\sec x)'=\sec x\tan x$$ $$(\csc x)'=-\csc x\cot x$$

复合函数：

$$(\sin u)'=\cos u\cdot u'$$ $$(\cos u)'=-\sin u\cdot u'$$ $$(\tan u)'=\sec^2u\cdot u'$$ $$(\cot u)'=-\csc^2u\cdot u'$$ $$(\sec u)'=\sec u\tan u\cdot u'$$ $$(\csc u)'=-\csc u\cot u\cdot u'$$

反三角函数：

$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\operatorname{arccot}x)'=-\frac{1}{1+x^2}$$

14. 三角函数积分

$$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$$ $$\int\cos x\,dx=\sin x+C$$ $$\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$$ $$\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$$ $$\int\sec^2x\,dx=\tan x+C$$ $$\int\csc^2x\,dx=-\cot x+C$$ $$\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C$$ $$\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C$$ $$\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|+C$$ $$\int\csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x|+C$$

平方积分：

$$\int\sin^2x\,dx = \frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$$ $$\int\cos^2x\,dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$$

15. 极限与泰勒展开

当 $x\to0$ 时：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$$ $$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$$

等价无穷小：

$$\sin x\sim x$$ $$\tan x\sim x$$ $$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$$

正弦函数的麦克劳林展开：

$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\cdots$$

余弦函数的麦克劳林展开：

$$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\cdots$$

16. 万能代换

令：

$$t=\tan\frac{x}{2}$$

则：

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$$ $$dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt$$

该代换可以将含有 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理式积分转化为有理函数积分。

17. 辅助角公式

对于：

$$a\sin x+b\cos x$$

令：

$$R=\sqrt{a^2+b^2}$$

则存在角 $\varphi$，使得：

$$a\sin x+b\cos x = R\sin(x+\varphi)$$

其中：

$$R\cos\varphi=a$$ $$R\sin\varphi=b$$

因此：

$$-\sqrt{a^2+b^2} \le a\sin x+b\cos x \le \sqrt{a^2+b^2}$$

18. 欧拉公式

复指数与三角函数的关系为：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

因此：

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

欧拉公式把三角函数、指数函数和复数联系起来，是傅里叶分析和微分方程的重要基础。

19. 知识结构

三角函数的核心关系可以概括为：

$$\text{单位圆} \longrightarrow \text{六个基本函数} \longrightarrow \text{定义域和值域} \longrightarrow \text{图像与周期} \longrightarrow \text{恒等变形} \longrightarrow \text{方程} \longrightarrow \text{导数与积分}$$