三角函数

1. 角度制与弧度制

角度制中，一周角为：

$$360^{\circ }$$

弧度制中，一周角为：

$$2\pi$$

若圆弧长为 $l$，半径为 $r$，则圆心角的弧度数定义为：

$$\theta =\frac{l}{r}$$

常用换算：

$$180^{\circ }=\pi$$ $$360^{\circ }=2\pi$$ $${\theta }^{\circ }=\theta \cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$$ $$\theta \text{ rad}=\theta \cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$$

在大学微积分中，三角函数的自变量默认使用弧度制。

2. 三角函数的定义

2.1 直角三角形定义

设直角三角形的锐角为 $\theta$，斜边为 $c$，对边为 $a$，邻边为 $b$。

则：

$$\sin \theta =\frac{a}{c}$$ $$\cos \theta =\frac{b}{c}$$ $$\tan \theta =\frac{a}{b}$$ $$\cot \theta =\frac{b}{a}$$ $$\sec \theta =\frac{c}{b}$$ $$\csc \theta =\frac{c}{a}$$

直角三角形定义只适合锐角。任意角的三角函数使用单位圆定义。

2.2 单位圆定义

在平面直角坐标系中，取单位圆：

$$x^2+y^2=1$$

角 $\theta$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则：

$$\cos \theta =x$$ $$\sin \theta =y$$

因此：

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\left(\cos \theta \ne 0\right)$$ $$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\left(\sin \theta \ne 0\right)$$ $$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$$ $$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$$

由单位圆方程得到基本关系：

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

3. 定义域与值域

其中：

$$k\in \mathbb{Z}$$

4. 象限符号

倒数函数与对应的原函数符号相同：

• $\sec x$ 与 $\cos x$ 同号。
• $\csc x$ 与 $\sin x$ 同号。

5. 奇偶性

正弦、正切、余切、余割是奇函数：

$$\sin (-x)=-\sin x$$ $$\tan (-x)=-\tan x$$ $$\cot (-x)=-\cot x$$ $$\csc (-x)=-\csc x$$

余弦、正割是偶函数：

$$\cos (-x)=\cos x$$ $$\sec (-x)=\sec x$$

6. 周期性

正弦、余弦、正割、余割的周期为 $2\pi$：

$$\sin (x+2k\pi )=\sin x$$ $$\cos (x+2k\pi )=\cos x$$ $$\sec (x+2k\pi )=\sec x$$ $$\csc (x+2k\pi )=\csc x$$

正切、余切的周期为 $\pi$：

$$\tan (x+k\pi )=\tan x$$ $$\cot (x+k\pi )=\cot x$$

7. 特殊角函数值

8. 六个基本函数图像

8.1 正弦函数

$$y=\sin x$$

关键点：

$$(0,0)$$ $$\left(\frac{\pi }{2},1\right)$$ $$(\pi ,0)$$ $$\left(\frac{3\pi }{2},-1\right)$$ $$(2\pi ,0)$$

Graph正弦函数 y = sin x

性质：

• 定义域为 $\mathbb{R}$。
• 值域为 $[-1,1]$。
• 零点为 $x=k\pi$。
• 最大值为 $1$。
• 最小值为 $-1$。
• 周期为 $2\pi$。

8.2 余弦函数

$$y=\cos x$$

关键点：

$$(0,1)$$ $$\left(\frac{\pi }{2},0\right)$$ $$(\pi ,-1)$$ $$\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$$ $$(2\pi ,1)$$

Graph余弦函数 y = cos x

性质：

• 定义域为 $\mathbb{R}$。
• 值域为 $[-1,1]$。
• 零点为 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$。
• 最大值为 $1$。
• 最小值为 $-1$。
• 周期为 $2\pi$。

8.3 正切函数

$$y=\tan x$$

零点：

$$x=k\pi$$

渐近线：

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$$

Graph正切函数 y = tan x

性质：

• 定义域为 $x\in \mathbb{R},x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$。
• 值域为 $\mathbb{R}$。
• 周期为 $\pi$。
• 在每个定义区间上严格递增。

8.4 余切函数

$$y=\cot x$$

零点：

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$$

渐近线：

$$x=k\pi$$

Graph余切函数 y = cot x

性质：

• 定义域为 $x\in \mathbb{R},x\ne k\pi$。
• 值域为 $\mathbb{R}$。
• 周期为 $\pi$。
• 在每个定义区间上严格递减。

8.5 正割函数

$$y=\sec x=\frac{1}{\cos x}$$

定义域排除：

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$$

值域：

$$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$$

Graph正割函数 y = sec x

性质：

• 图像位于 $y\le -1$ 或 $y\ge 1$ 的区域。
• 渐近线为：

$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$$

8.6 余割函数

$$y=\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

定义域排除：

$$x=k\pi$$

值域：

$$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$$

Graph余割函数 y = csc x

性质：

• 图像位于 $y\le -1$ 或 $y\ge 1$ 的区域。
• 渐近线为：

$$x=k\pi$$

9. 图像变换

9.1 正弦型和余弦型

考虑：

$$y=A\sin (\omega x+\phi )+B$$

或：

$$y=A\cos (\omega x+\phi )+B$$

其中：

• 振幅为 $|A|$。
• 中心线为 $y=B$。
• 最大值为：

$$B+|A|$$

• 最小值为：

$$B-|A|$$

• 周期为：

$$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$$

• 相位平移为：

$$-\frac{\phi }{\omega }$$

• 值域为：

$$[B-|A|,B+|A|]$$

9.2 正切型

考虑：

$$y=A\tan (\omega x+\phi )+B$$

周期为：

$$T=\frac{\pi }{|\omega |}$$

渐近线满足：

$$\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$$

所以：

$$x=\frac{\frac{\pi }{2}+k\pi -\phi }{\omega }$$

10. 基本恒等式

10.1 倒数关系

$$\sec x=\frac{1}{\cos x}$$ $$\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

10.2 商关系

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ $$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

10.3 平方关系

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$ $$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$$ $$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$$

10.4 和差公式

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$ $$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$

10.5 二倍角公式

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ $$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$$ $$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$$ $$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$$ $$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$$

10.6 半角公式

$${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$ $${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$$ $${\tan }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$ $$\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$$ $$\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$$ $$\tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$$

10.7 降幂公式

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ $${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$ $$\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$$

10.8 积化和差

$$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$$ $$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )]$$ $$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$$ $$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$$

10.9 和差化积

$$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$ $$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$ $$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$ $$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$

11. 三角方程通解

11.1 正弦方程

若：

$$\sin x=\sin \alpha$$

则：

$$x=2k\pi +\alpha$$

或：

$$x=2k\pi +\pi -\alpha$$

11.2 余弦方程

若：

$$\cos x=\cos \alpha$$

则：

$$x=2k\pi \pm \alpha$$

11.3 正切方程

若：

$$\tan x=\tan \alpha$$

则：

$$x=k\pi +\alpha$$

11.4 余切方程

若：

$$\cot x=\cot \alpha$$

则：

$$x=k\pi +\alpha$$

其中：

$$k\in \mathbb{Z}$$

12. 反三角函数

12.1 反正弦函数

$$y=\arcsin x$$

定义域：

$$[-1,1]$$

值域：

$$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$

12.2 反余弦函数

$$y=\arccos x$$

定义域：

$$[-1,1]$$

值域：

$$[0,\pi ]$$

12.3 反正切函数

$$y=\arctan x$$

定义域：

$$\mathbb{R}$$

值域：

$$\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$$

12.4 反余切函数

常用约定为：

$$y=\mathrm{arccot}x$$

定义域为：

$$\mathbb{R}$$

常用值域为：

$$(0,\pi )$$

13. 导数公式

以下公式均以弧度制为前提：

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$ $$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$ $$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$$ $$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$$ $$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$$

复合函数：

$$(\sin u{)}^{\prime }=\cos u\cdot u^{\prime }$$ $$(\cos u{)}^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }$$ $$(\tan u{)}^{\prime }={\sec }^{2}u\cdot u^{\prime }$$ $$(\cot u{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}u\cdot u^{\prime }$$ $$(\sec u{)}^{\prime }=\sec u\tan u\cdot u^{\prime }$$ $$(\csc u{)}^{\prime }=-\csc u\cot u\cdot u^{\prime }$$

反三角函数：

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

14. 三角函数积分

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$ $$\int \cos xdx=\sin x+C$$ $$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$ $$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$$ $$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$$ $$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$ $$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$ $$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$ $$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$ $$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$$

平方积分：

$$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$$ $$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$$

15. 极限与泰勒展开

当 $x\to 0$ 时：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$

等价无穷小：

$$\sin x\sim x$$ $$\tan x\sim x$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$$

正弦函数的麦克劳林展开：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

余弦函数的麦克劳林展开：

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

16. 万能代换

令：

$$t=\tan \frac{x}{2}$$

则：

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$$ $$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

该代换可以将含有 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理式积分转化为有理函数积分。

17. 辅助角公式

对于：

$$a\sin x+b\cos x$$

令：

$$R=\sqrt{a^2+b^2}$$

则存在角 $\phi$，使得：

$$a\sin x+b\cos x=R\sin (x+\phi )$$

其中：

$$R\cos \phi =a$$ $$R\sin \phi =b$$

因此：

$$-\sqrt{a^2+b^2}\le a\sin x+b\cos x\le \sqrt{a^2+b^2}$$

18. 欧拉公式

复指数与三角函数的关系为：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

因此：

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

欧拉公式把三角函数、指数函数和复数联系起来，是傅里叶分析和微分方程的重要基础。

19. 知识结构

三角函数的核心关系可以概括为：

$$\text{单位圆}⟶\text{六个基本函数}⟶\text{定义域和值域}⟶\text{图像与周期}⟶\text{恒等变形}⟶\text{方程}⟶\text{导数与积分}$$