不定积分的概念与性质

根据第四章教材页整理原函数、不定积分的概念与性质，并串联基本积分公式和直接积分法。

一、原函数与不定积分的概念

原函数

设函数 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 上。如果存在可导函数 $F(x)$ ，使得

F'(x)=f(x), \qquad x\in I,

或写成

dF(x)=f(x)\,dx,

那么称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

例如：因为

(x^4)'=4x^3,

所以 $x^4$ 是 $4x^3$ 的一个原函数。

一个函数有无穷多个原函数

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，那么对任意常数 $C$ ， $F(x)+C$ 仍然是 $f(x)$ 的原函数。

原函数存在定理

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数一定存在。

若 $F(x)$ 、 $G(x)$ 都是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数，则

F'(x)=G'(x)=f(x),

从而

[F(x)-G(x)]'=0.

因此存在常数 $a$ ，使

F(x)-G(x)=a.

判断两个函数是否为同一函数的原函数

可以先看两者之差是否为常数，也可以分别求导，检查导数是否相同。

不定积分

函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的所有原函数，称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记作

\int f(x)\,dx=F(x)+C,

其中 $F'(x)=f(x)$ ， $C$ 是任意常数。

其中， $f(x)$ 称为被积函数， $dx$ 表示积分变量， $F(x)+C$ 称为积分结果。

原函数、不定积分与导数的关系

\left[\int f(x)\,dx\right]'=f(x), \qquad d\left[\int f(x)\,dx\right]=f(x)\,dx,

\int f'(x)\,dx=f(x)+C.

不要漏写积分常数

求不定积分时，结果中必须加上任意常数 $C$ ；否则得到的只是一个原函数，而不是完整的不定积分。

函数 $f(x)$ 的一个原函数的图形称为 $f(x)$ 的一条积分曲线。由于任意两个原函数只相差常数，积分曲线之间可以看作沿 $y$ 轴方向的平移。

若 $f(x)$ 、 $g(x)$ 的原函数存在，则

\int [f(x)\pm g(x)]\,dx =\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx.

有限个函数的和或差也可以逐项积分：

\int [f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)]\,dx =\int f_1(x)\,dx+\int f_2(x)\,dx+\cdots+\int f_n(x)\,dx.

当 $k\ne0$ 时，

\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx.

为什么要求 k 不等于 0

当 $k=0$ 时，左边为 $\int0\,dx=C$ ，而右边的 $k\int f(x)\,dx$ 恒为 $0$ ，两者不再表示同一个不定积分族。

\left[\int f(x)\,dx\right]'=f(x), \qquad d\left[\int f(x)\,dx\right]=f(x)\,dx.

当 $f'(x)$ 连续时，

\int f'(x)\,dx=f(x)+C, \qquad df(x)=f'(x)\,dx.

基本积分公式（一）

\int k\,dx=kx+C,\qquad k\text{ 为常数};

\int x^\mu\,dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C,\qquad \mu\ne-1;

\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C;

\int e^x\,dx=e^x+C;

\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\qquad a>0,\ a\ne1;

\int\cos x\,dx=\sin x+C, \qquad \int\sin x\,dx=-\cos x+C.

基本积分公式（二）

\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C;

\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C;

\int\frac{dx}{\cos^2x}=\int\sec^2x\,dx=\tan x+C;

\int\frac{dx}{\sin^2x}=\int\csc^2x\,dx=-\cot x+C;

\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C;

\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C.