不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

1. 原函数的概念

定义原函数Definition

设函数 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 上。如果存在可导函数 $F(x)$，使得

$$F^{\prime }(x)=f(x),x\in I,$$

或写成

$$dF(x)=f(x)dx,$$

那么称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

例如：因为

$$(x^4{)}^{\prime }=4x^3,$$

所以 $x^4$ 是 $4x^3$ 的一个原函数。

Important一个函数有无穷多个原函数

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，那么对任意常数 $C$，$F(x)+C$ 仍然是 $f(x)$ 的原函数。

定理原函数存在定理Theorem

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数一定存在。

2. 原函数的唯一性（相差一个常数）

若 $F(x)$、$G(x)$ 都是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数，则

$$F^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)=f(x),$$

从而

$$[F(x)-G(x){]}^{\prime }=0.$$

因此存在常数 $a$，使

$$F(x)-G(x)=a.$$

Important判断两个函数是否为同一函数的原函数

可以先看两者之差是否为常数，也可以分别求导，检查导数是否相同。

3. 不定积分的概念

定义不定积分Definition

函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的所有原函数，称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记作

$$\int f(x)dx=F(x)+C,$$

其中 $F^{\prime }(x)=f(x)$，$C$ 是任意常数。

其中，$f(x)$ 称为被积函数，$dx$ 表示积分变量，$F(x)+C$ 称为积分结果。

Formula原函数、不定积分与导数的关系

$${\left[\int f(x)dx\right]}^{\prime }=f(x),d\left[\int f(x)dx\right]=f(x)dx,$$$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C.$$

Important不要漏写积分常数

求不定积分时，结果中必须加上任意常数 $C$；否则得到的只是一个原函数，而不是完整的不定积分。

二、不定积分的几何意义

函数 $f(x)$ 的一个原函数的图形称为 $f(x)$ 的一条积分曲线。由于任意两个原函数只相差常数，积分曲线之间可以看作沿 $y$ 轴方向的平移。

三、不定积分的性质

性质 1：线性性质

若 $f(x)$、$g(x)$ 的原函数存在，则

$$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx.$$

有限个函数的和或差也可以逐项积分：

$$\int [f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x)]dx=\int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx+\cdots +\int f_n(x)dx.$$

性质 2：常数因子可以提出

当 $k\ne 0$ 时，

$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx.$$

Important为什么要求 k 不等于 0

当 $k=0$ 时，左边为 $\int 0dx=C$，而右边的 $k\int f(x)dx$ 恒为 $0$，两者不再表示同一个不定积分族。

性质 3：不定积分与微分互为逆运算

$${\left[\int f(x)dx\right]}^{\prime }=f(x),d\left[\int f(x)dx\right]=f(x)dx.$$

性质 4：导数的积分

当 $f^{\prime }(x)$ 连续时，

$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C,df(x)=f^{\prime }(x)dx.$$

四、基本积分公式

Formula基本积分公式（一）

$$\int kdx=kx+C,k\text{ 为常数};$$$$\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C,\mu \ne -1;$$$$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C;$$$$\int e^{x}dx=e^x+C;$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,a>0,a\ne 1;$$$$\int \cos xdx=\sin x+C,\int \sin xdx=-\cos x+C.$$

Formula基本积分公式（二）

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C;$$$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C;$$$$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C;$$$$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C;$$$$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C;$$$$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C.$$