常用不定积分公式与推导

一、总原则

若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则

$$dF(x)=F^{\prime }(x)dx=f(x)dx.$$

因此

$$\boxed{\int dF(x)=F(x)+C}.$$

看到

$$\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}dx$$

时，可以令 $u=g(x)$，得到

$$\boxed{\int \frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}dx=\ln |g(x)|+C}.$$

二、基础积分公式

1. 常数和一次函数

$$\boxed{\int dx=x+C}$$

更一般地，

$$\boxed{\int adx=ax+C}.$$

因为 $(ax{)}^{\prime }=a$。

2. 指数函数

$$\boxed{\int e^{x}dx=e^x+C}$$

因为 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$。更一般地，

$$\boxed{\int e^{g(x)}{g}^{\prime }(x)dx=e^{g(x)}+C}.$$

3. 幂函数

当 $\mu \ne -1$ 时，

$$\boxed{\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C}.$$

推导：

$${\left(\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}\right)}^{\prime }=x^{\mu }.$$

特殊情况：

$$\boxed{\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C}.$$

4. 倒数平方

$$\boxed{\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C}.$$

因为

$${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=(-x^{-1}{)}^{\prime }=x^{-2}.$$

5. 根号 $x$

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C}.$$

由于 $1/\sqrt{x}=x^{-1/2}$，所以

$$\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{x}+C.$$

三、基本三角函数积分

6. 正弦

$$\boxed{\int \sin xdx=-\cos x+C}.$$

因为 $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$。

7. 余弦

$$\boxed{\int \cos xdx=\sin x+C}.$$

因为 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$。

8. 正切

$$\boxed{\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C}$$

推导：

$$\begin{array}{rl}\int \tan xdx& =\int \frac{\sin x}{\cos x}dx\\ & =-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}\\ & =-\ln |\cos x|+C.\end{array}$$

也可以写成

$$\boxed{\int \tan xdx=\ln |\sec x|+C}.$$

9. 余切

$$\boxed{\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C}.$$

推导：

$$\begin{array}{rl}\int \cot xdx& =\int \frac{\cos x}{\sin x}dx\\ & =\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}\\ & =\ln |\sin x|+C.\end{array}$$

10. 正割平方

$$\boxed{\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C}.$$

因为 $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$。

11. 余割平方

$$\boxed{\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C}.$$

因为 $(-\cot x{)}^{\prime }={\csc }^{2}x$。

12. 正割

$$\boxed{\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C}.$$

推导：

$$\begin{array}{rl}\int \sec xdx& =\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}dx.\end{array}$$

因为

$$(\sec x+\tan x{)}^{\prime }=\sec x(\sec x+\tan x),$$

所以

$$\begin{array}{rl}\int \sec xdx& =\int \frac{d(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\\ & =\ln |\sec x+\tan x|+C.\end{array}$$

13. 余割

$$\boxed{\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C}.$$

因为

$$(\csc x-\cot x{)}^{\prime }=\csc x(\csc x-\cot x),$$

所以

$$\begin{array}{rl}\int \csc xdx& =\int \frac{d(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}\\ & =\ln |\csc x-\cot x|+C.\end{array}$$

四、反三角函数型积分

以下设 $a>0$。

14. 根号减：$\sqrt{a^2-x^2}$

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C}.$$

令 $x=a\sin t$，则

$$dx=a\cos tdt,\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t.$$

因此

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int dt=t+C=\arcsin \frac{x}{a}+C.$$

15. 没有根号加：$a^2+x^2$

$$\boxed{\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C}.$$

令 $u=x/a$，则 $dx=adu$，从而

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{a^2+x^2}& =\int \frac{adu}{a^2(1+u^2)}\\ & =\frac{1}{a}\int \frac{du}{1+u^2}\\ & =\frac{1}{a}\arctan u+C\\ & =\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C.\end{array}$$

五、根式为加号的情况

16. 根号加：$\sqrt{a^2+x^2}$

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln \left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|+C}.$$

令 $x=a\tan t$，则

$$dx=a{\sec }^{2}tdt,\sqrt{a^2+x^2}=a\sec t.$$

所以

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}& =\int \sec tdt\\ & =\ln |\sec t+\tan t|+C.\end{array}$$

代回

$$\sec t=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a},\tan t=\frac{x}{a}.$$

常数 $\ln a$ 可并入 $C$，于是得到上式。

17. 根号减：$\sqrt{x^2-a^2}$

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C}.$$

令 $x=a\sec t$，则

$$dx=a\sec t\tan tdt,\sqrt{x^2-a^2}=a\tan t.$$

因此

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}& =\int \sec tdt\\ & =\ln |\sec t+\tan t|+C\\ & =\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C.\end{array}$$

记忆：

$$\boxed{\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow \arcsin }$$ $$\boxed{\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow \ln }$$ $$\boxed{\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow \ln }$$

六、没有根号减的情况

18. $a^2-x^2$

$$\boxed{\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C}.$$

部分分式分解：

$$\frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{(a-x)(a+x)}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}\right).$$

因此

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{a^2-x^2}& =\frac{1}{2a}\left[\ln |a+x|-\ln |a-x|\right]+C\\ & =\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C.\end{array}$$

19. $x^2-a^2$

$$\boxed{\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C}.$$

分解：

$$\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right).$$

所以

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{x^2-a^2}& =\frac{1}{2a}\left[\ln |x-a|-\ln |x+a|\right]+C\\ & =\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C.\end{array}$$

七、特殊公式

20. $x^2\sqrt{x^2-a^2}$

$$\boxed{\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a^{2}x}+C}.$$

因为

$${\left(\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\right)}^{\prime }=\frac{a^2}{x^2\sqrt{x^2-a^2}},$$

所以

$$\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a^2}d\left(\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\right).$$

当 $a=2$ 时，

$$\boxed{\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-4}}=\frac{\sqrt{x^2-4}}{4x}+C}.$$

八、复合函数版本

如果里面不是 $x$，而是 $g(x)$，同时出现 $g^{\prime }(x)$，就直接套用：

$$\boxed{\int \frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}dx=\ln |g(x)|+C}$$ $$\boxed{\int e^{g(x)}{g}^{\prime }(x)dx=e^{g(x)}+C}$$ $$\boxed{\int \cos (g(x))g^{\prime }(x)dx=\sin (g(x))+C}$$ $$\boxed{\int \sin (g(x))g^{\prime }(x)dx=-\cos (g(x))+C}$$ $$\boxed{\int \frac{g^{\prime }(x)}{\sqrt{a^2-g^2(x)}}dx=\arcsin \frac{g(x)}{a}+C}$$ $$\boxed{\int \frac{g^{\prime }(x)}{a^2+g^2(x)}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{g(x)}{a}+C}.$$

九、根式三角代换表

遇到根式时：

$$\begin{array}{cc}\text{根式形式}& \text{代换}\\ \sqrt{a^2-x^2}& x=a\sin t\\ \sqrt{a^2+x^2}& x=a\tan t\\ \sqrt{x^2-a^2}& x=a\sec t\end{array}$$

考试时先看结构：

$$\begin{array}{cc}\text{形式}& \text{结果}\\ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}& \arcsin \\ \frac{1}{a^2+x^2}& \arctan \\ \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}& \ln \\ \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}& \ln \\ \frac{1}{a^2-x^2}& \ln \\ \frac{1}{x^2-a^2}& \ln \end{array}$$

判断顺序：

1. 先看分子是否为分母的导数。
2. 再看是否有整体及其导数。
3. 遇到标准根式，再考虑三角代换。
4. 最后才考虑分部积分。