第二节 极限

Chapter

第一章 函数与极限

第二节 极限

Section知识梳理

»

一、函数极限

1. 函数极限的定义

（1）当自变量趋于有限点时

定义函数在一点处的极限Definition

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。如果当 $x\to x_0$ 时，函数 $f(x)$ 无限趋近于某一个确定的常数 $A$，则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记为

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

或者

$$f(x)\to A(x\to x_0).$$

注邻域与去心邻域Remark

以 $x_0$ 为中心的开区间称为点 $x_0$ 的邻域。设 $\delta >0$，记为

$$U(x_0;\delta )=(x_0-\delta ,x_0+\delta ).$$

在邻域中去掉中心点 $x_0$，得到点 $x_0$ 的去心邻域：

$$\begin{array}{rl}\mathring{U}(x_0;\delta )& =\{x\mid 0<|x-x_0|<\delta \}\\ & =(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ).\end{array}$$

$x\to x_0$ 表示 $x$ 无限趋近于 $x_0$，但不等于 $x_0$。函数在 $x_0$ 处是否有定义，与 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 是否存在无关。

定义左极限Definition

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个左侧邻域 $(x_0-\delta ,x_0)$（$\delta >0$）内有定义，当 $x$ 从 $x_0$ 的左侧趋近于 $x_0$（记作 $x\to x_0^{-}$）时，函数 $f(x)$ 无限趋近于某一个确定的常数 $A$，则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限，记为

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A\text{或者}f(x_0^{-})=A.$$

定义右极限Definition

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个右侧邻域 $(x_0,x_0+\delta )$（$\delta >0$）内有定义，当 $x$ 从 $x_0$ 的右侧趋近于 $x_0$（记作 $x\to x_0^{+}$）时，函数 $f(x)$ 无限趋近于某一个确定的常数 $A$，则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限，记为

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A\text{或者}f(x_0^{+})=A.$$

（2）当自变量趋于无穷时

定义自变量趋于无穷时的函数极限Definition

如果当 $x\to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 无限趋近于某一个确定的常数 $A$，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 时的极限，记为

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A\text{或者}f(x)\to A(x\to \infty ).$$

这里 $x\to \infty$ 表示 $|x|\to +\infty$，包含 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 两个方向。

如果只考虑其中一个方向，相应地记为

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A\text{或}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A.$$

2. 函数在一点处极限存在的充要条件 ★☆☆☆☆

定理左右极限存在且相等Theorem

函数在一点处的极限存在且等于 $A$，当且仅当左、右极限都存在且等于 $A$：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\{\begin{array}{l}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A,\\ \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A.\end{array}$$

当 $x\to \infty$ 时，相应的充要条件也成立：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A⟺\{\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A,\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A.\end{array}$$

Important重点提示

若左、右极限至少有一个不存在，或两者都存在但不相等，则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在。

若表达式中含有 $a^{1/x}$、$\arctan (1/x)$、$\mathrm{arccot}(1/x)$ 等，求 $x\to 0$ 时的极限一般需要分别讨论左右极限。

若表达式中含有 $a^x$、$\arctan x$、$\mathrm{arccot}x$ 等，求 $x\to \infty$ 时的极限一般需要分别讨论 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$。

其中指数函数的底数满足 $a>0$、$a\ne 1$。

若表达式中含有 $\frac{|x-a|}{x-a}$，求 $x\to a$ 时的极限一般需要分别讨论左右极限。

3. 函数极限的性质 ★★☆☆☆

性质 1：唯一性

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处极限存在，则极限唯一。

性质 2：局部有界性

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，那么存在常数 $M>0$ 和 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有

$$|f(x)|\le M.$$

性质 3：局部保号性

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，且 $A>0$（或 $A<0$），那么存在常数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有

$$f(x)>0\text{（或 }f(x)<0\text{）}.$$

性质 4：四则运算法则

设

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B.$$

Formula和、差、积、商的极限

（1）线性运算：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[\alpha f(x)\pm \beta g(x)]=\alpha A\pm \beta B,$$

其中 $\alpha ,\beta$ 为常数。

（2）乘法：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)g(x)]=AB.$$

（3）除法：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B},B\ne 0.$$

特别地，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则

$$\underset{x\to x_0}{\lim }kf(x)=kA,$$ $$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x){]}^n=A^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}.$$

其中 $k$ 为常数。和、差与乘法的法则可以推广到有限多个函数的情况。

性质 5：复合函数的极限运算法则

设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $y=f(u)$ 与函数 $u=g(x)$ 复合而成，$f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。若

$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0,\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A,$$

且存在 ${\delta }_0>0$，当 $x\in \mathring{U}(x_0;{\delta }_0)$ 时，有 $g(x)\ne u_0$，则

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A.$$

4. 求函数极限的方法 ★★★★★

遇到基本初等函数时，可以结合函数图形判断极限；遇到较复杂的函数时，先通过适当变形将其化简，再求极限。

（1）利用四则运算法则

当参与运算的各函数极限都存在，且商式的分母极限不为零时，可直接应用四则运算法则。在函数连续的点处，可以通过代入求极限。

（2）约去零因子

对于 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可先分解因式，在去心邻域内约去分子、分母中的公共零因子，再求极限。

约去因子是在 $x\ne x_0$ 时进行的，不要求原式在 $x_0$ 处有定义。

（3）通分变形

对于分式之差形成的 $\infty -\infty$ 型未定式，可先通分合并，再分解因式或约分。

（4）有理化

分子或分母含有根式，直接代入得到未定式时，可乘以相应的共轭式，将根式之差转化为可约分的形式。

Formula通分和有理化常用恒等式

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

（5）分子、分母同除以最高次幂

当 $x\to \infty$，分子、分母都是多项式时，可同除以适当的最高次幂，再利用 $\frac{1}{x^k}\to 0$（$k>0$）求极限。

设

$$\begin{array}{rl}{P}_n(x)& =a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n,\\ Q_m(x)& =b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m,\end{array}$$

其中 $a_0\ne 0$、$b_0\ne 0$，$m,n$ 为非负整数。

Formula多项式之比的极限

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\{\begin{array}{ll}0,& n<m,\\ \frac{a_0}{b_0},& n=m.\end{array}$$

当 $n>m$ 时，

$$\left|\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\right|\to +\infty .$$

具体趋于 $+\infty$ 还是 $-\infty$，要结合 $\frac{a_0}{b_0}$ 的符号、$n-m$ 的奇偶性及 $x$ 的趋近方向判断。

Important重点提示：抓大头

当 $x\to \infty$ 时，多项式的最高次项起主导作用。分子、分母分别保留最高次项，可将求极限转化为

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_0{x}^n}{b_0{x}^m}.$$

这种求极限的方法称为“抓大头”。

含根式时须保留符号信息，特别是 $\sqrt{x^2}=|x|$；当 $x\to -\infty$ 时，$|x|=-x$。

（6）分别计算左右极限

分段函数、绝对值表达式，以及在不同趋近方向下表现不同的指数或反三角函数，需要先分方向计算，再判断整体极限是否存在。

注未定式与无穷大的记号Remark

若分子、分母都趋于零，或两者的绝对值都趋于无穷大，其商的极限可能存在，也可能不存在。通常称这样的形式为未定式（或不定式），分别记作 $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty }{\infty }$。本节还涉及 $\infty -\infty$、$1^{\infty }$ 型。

这些记号不能直接当作数进行四则运算。

若 $c\ne 0$，则当 $x\to 0$ 时，$\left|\frac{c}{x}\right|\to +\infty$，但左右两侧的符号不同；当 $x\to \infty$ 时，$\frac{c}{x}\to 0$。

教材中不带正负号的“函数趋于 $\infty$”表示函数的绝对值无限增大，不一定表示趋于 $+\infty$。

二、数列极限

如果按照某一法则，对每个 $n\in {\mathbb{N}}_{+}$，对应着一个确定的实数 $x_n$，这些实数按下标 $n$ 由小到大的顺序排列得到的序列

$$x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$$

称为数列，简记为 $\{x_n\}$，其中 $x_n$ 称为该数列的通项（或一般项）。

1. 数列极限的定义 ★☆☆☆☆

定义数列的收敛与发散Definition

如果当 $n\to \infty$ 时，数列 $\{x_n\}$ 无限趋近于某一个确定的常数 $a$，则称常数 $a$ 为数列 $\{x_n\}$ 当 $n\to \infty$ 时的极限，记为

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\text{或者}{x}_n\to a(n\to \infty ).$$

此时称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$。

如果不存在这样的常数 $a$，则称数列 $\{x_n\}$ 没有极限，或称该数列发散。

2. 数列极限的性质

性质 1：唯一性

收敛数列的极限必唯一。

性质 2：有界性

收敛数列必有界。

性质 3：保号性

如果 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，且 $a>0$（或 $a<0$），那么存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，都有

$$x_n>0\text{（或 }{x}_n<0\text{）}.$$

性质 4：夹逼准则

定理数列的夹逼准则Theorem

对于三个数列 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$、$\{z_n\}$，如果从某项开始，即当 $n>N$ 时，有

$$x_n\le y_n\le z_n,$$

且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=a,$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=a.$$

性质 5：单调有界准则

单调有界数列必有极限。具体地，单调递增且有上界的数列、单调递减且有下界的数列，都收敛。

性质 6：四则运算法则

设

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B,$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(\alpha x_n\pm \beta y_n)=\alpha A\pm \beta B,$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n{y}_n)=AB,$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B},B\ne 0.$$

其中 $\alpha ,\beta$ 为常数。

注点拨Remark

数列 $\{x_n\}$ 可看作自变量为 $n$ 的函数，即 $x_n=f(n)$，$n\in {\mathbb{N}}_{+}$，所以函数极限的许多求法也可用于数列极限。

数列极限的夹逼准则也可推广到函数极限：在同一趋近过程中，若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且两侧函数的极限都为 $A$，则 $f(x)$ 的极限也为 $A$。

当求和项数随 $n$ 增大时，不能直接把极限拆成无限多个单项极限相加；可考虑放缩后使用夹逼准则。

三、无穷小量与无穷大量

1. 无穷小量的定义

定义无穷小量Definition

如果函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的极限为零，则称函数 $f(x)$ 为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小。

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0.$$

当 $x\to x_0^{+}$、$x\to x_0^{-}$、$x\to +\infty$、$x\to -\infty$ 时，可得到相应的无穷小定义。

注点拨Remark

① 无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大小，即在某个极限过程中绝对值无限变小且趋近于零的量。一个非零常数不管多么小，都不是无穷小。数 $0$ 是唯一可为无穷小的常数。

② 无穷小与极限过程相联系，不能笼统地说某个函数是无穷小，必须指出极限过程。

2. 无穷大量的定义

定义无穷大量Definition

如果当 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时，函数 $f(x)$ 的绝对值无限增大，则称函数 $f(x)$ 为该极限过程中的无穷大量，简称无穷大。

$$|f(x)|\to +\infty .$$

当 $x\to x_0^{+}$、$x\to x_0^{-}$、$x\to +\infty$、$x\to -\infty$ 时，可得到相应的无穷大定义。

注点拨Remark

① 无穷大是变量，不能与很大的数混淆。

② 当说某个函数是无穷大时，必须指出极限过程。

③ 按本节“极限是有限常数”的定义，函数趋于无穷大属于有限极限不存在的情况。

3. 无穷小量与函数极限、无穷大量的关系

（1）无穷小量与函数极限的关系

Formula极限值与无穷小之和

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺f(x)=A+\alpha (x),\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha (x)=0.$$

即函数等于其极限值加上一个无穷小量。这里 $\alpha (x)=f(x)-A$。

当 $x\to \infty$ 时，此关系也成立。

（2）无穷小量与无穷大量的关系

在同一极限过程中：

① 若函数 $f(x)$ 为无穷小，且在所考察的去心邻域内 $f(x)\ne 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。

② 若函数 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小。

4. 无穷小量的性质 ★★☆☆☆

在同一极限过程中：

1. 有限个无穷小的和仍为无穷小。
2. 有界函数与无穷小的积仍为无穷小。
3. 常数与无穷小之积仍为无穷小。
4. 有限个无穷小之积仍为无穷小。

Important重点提示

常见的有界函数有 $\sin x$、$\cos x$、$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$、$\mathrm{arccot}x$、$\frac{1}{1+x^2}$ 等，各函数均在其定义域内讨论。

无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小。求和项数随极限过程变化时，不能直接套用“有限个无穷小之和”的性质。

两个无穷小之商未必是无穷小，应进一步比较它们趋于零的速度。

5. 无穷小量阶的比较 ★★★☆☆

设在同一个自变量的变化过程中，有

$$\lim \alpha (x)=0,\lim \beta (x)=0,$$

且在所考察的去心邻域内 $\beta (x)\ne 0$。

比值的极限	名称	记法或说明
$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$	$\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 高阶的无穷小	$\alpha (x)=o(\beta (x))$
$\left|\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}\right|\to +\infty$	$\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 低阶的无穷小	$\alpha (x)$ 趋于零较慢
$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C$，$C$ 为非零有限常数	$\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是同阶无穷小	比值趋于非零常数
$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$	$\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是等价无穷小	$\alpha (x)\sim \beta (x)$

注点拨Remark

当 $m>n>0$，$x\to 0$ 时，在幂函数有定义的范围内，$x^m\to 0$ 的速度比 $x^n\to 0$ 快，所以 $x^m$ 是 $x^n$ 的高阶无穷小，$x^n$ 是 $x^m$ 的低阶无穷小。

6. 常见的等价无穷小 ★★★★★

以下等价关系均在 $x\to 0$ 时成立：

序号	等价关系	条件
（1）	$\sin x\sim x$	三角函数使用弧度制
（2）	$\tan x\sim x$	三角函数使用弧度制
（3）	$\arcsin x\sim x$	—
（4）	$\arctan x\sim x$	—
（5）	$e^x-1\sim x$	—
（6）	$a^x-1\sim x\ln a$	$a>0$，$a\ne 1$
（7）	$\ln (1+x)\sim x$	$1+x>0$
（8）	${\log }_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$	$a>0$，$a\ne 1$，$1+x>0$
（9）	$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$	$\alpha$ 为非零实常数，$1+x>0$
（10）	$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$	$n\in {\mathbb{N}}_{+}$
（11）	$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$	—
（12）	$\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2}$	—
（13）	$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$	—
（14）	$\tan x-x\sim \frac{x^3}{3}$	—

Important重点提示：自变量可以整体替换

若在某一极限过程中 $u=u(x)\to 0$，则上述等价式中的 $x$ 可以整体换成 $u(x)$，但必须保持表达式一致。

$$\sin u\sim u,\tan u\sim u,\ln (1+u)\sim u,$$$$e^u-1\sim u,1-\cos u\sim \frac{u^2}{2}.$$

关键条件是内层表达式 $u\to 0$，并不要求原自变量一定趋于零。

7. 等价无穷小的重要性质 ★★★★★

性质 1：传递性

在同一极限过程中，若

$$\alpha (x)\sim \beta (x),\beta (x)\sim \gamma (x),$$

则

$$\alpha (x)\sim \gamma (x).$$

性质 2：等价无穷小替换

定理商的极限中可以等价替换Theorem

在同一极限过程中，若

$$\alpha (x)\sim {\alpha }^{\ast }(x),\beta (x)\sim {\beta }^{\ast }(x),$$

且 $\lim \frac{{\alpha }^{\ast }(x)}{{\beta }^{\ast }(x)}$ 存在，则

$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim \frac{{\alpha }^{\ast }(x)}{{\beta }^{\ast }(x)}.$$

在求 $\frac{\text{无穷小}}{\text{无穷小}}$，即 $\frac{0}{0}$ 型未定式时，分子与分母都可用各自的等价无穷小替换，这种方法称为等价无穷小替换。

Important重点提示：局部替换用于乘除因子

在求极限时，使用等价无穷小进行局部替换，须保证被替换部分与其余部分是乘积或商的关系。

若 $\alpha \sim {\alpha }^{\ast }$，且右侧极限存在，则

$$\lim \frac{\alpha \gamma }{\beta }=\lim \frac{{\alpha }^{\ast }\gamma }{\beta }.$$

加减式中的各项不能直接逐项等价替换，尤其要注意首项抵消的情况。需要使用整个加减表达式的等价关系。

求数列极限时也可使用等价无穷小替换。

四、两个重要极限 ★★★★☆

1. 第一重要极限

Formula第一重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$

三角函数使用弧度制。

注点拨：内外表达式一致Remark

若 $u=u(x)\to 0$，且在所考察范围内 $u(x)\ne 0$，则

$$\underset{u(x)\to 0}{\lim }\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1.$$

正弦函数内的表达式与分母的表达式须一致，且它们都趋于零。必要时可通过调配系数或换元得到这一结构。

Important重点提示：区分趋近过程

① 第一重要极限：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$

② 当自变量趋于无穷：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0.$$

因为 $|\sin x|\le 1$，且 $\frac{1}{x}\to 0$，可用有界函数与无穷小之积的性质。

③ 当自变量趋于零：

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0.$$

因为 $\left|\sin \frac{1}{x}\right|\le 1$，且 $x\to 0$。

④ 当自变量趋于无穷：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}=1.$$

因为 $\frac{1}{x}\to 0$，且

$$x\sin \frac{1}{x}=\frac{\sin (1/x)}{1/x}.$$

⑤ $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{\sin x}$ 没有有限极限。在 $\sin x\ne 0$ 的定义域内，

$$\left|\frac{x}{\sin x}\right|\ge |x|\to +\infty .$$

其符号会变化，不能说它趋于某一个固定符号的无穷大。

2. 第二重要极限

Formula第二重要极限

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e.$$

等价形式为

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}=e.$$

第二式在 $1+x>0$、$x\ne 0$ 的范围内讨论。

令 $u=\frac{1}{x}$，两种形式可以相互转化：$x\to 0$ 时，$|u|\to +\infty$；$|x|\to +\infty$ 时，$u\to 0$。

Important重点提示：整体配凑

① 若 $|u(x)|\to +\infty$，则

$$\lim {\left(1+\frac{1}{u(x)}\right)}^{u(x)}=e.$$

② 若 $u(x)\to 0$，且在所考察范围内 $u(x)\ne 0$，则

$$\lim [1+u(x){]}^{1/u(x)}=e.$$

两种形式都要求底数中的增量与指数互为倒数，并在底数为正的范围内讨论。

③ 第二重要极限也适用于数列极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e.$$

“1 的无穷次幂”型的处理

遇到

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[1+f(x){]}^{g(x)}$$

的极限，若 $f(x)\to 0$、$|g(x)|\to +\infty$，可配凑成第二重要极限的结构：

$$[1+f(x){]}^{g(x)}={\left([1+f(x){]}^{1/f(x)}\right)}^{f(x)g(x)}.$$

上面的恒等变形要求 $f(x)\ne 0$ 且 $1+f(x)>0$。

Formula底数增量与指数之积

若 $f(x)\to 0$、$1+f(x)>0$，且

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)=L,$$

其中 $L$ 为有限常数，则

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[1+f(x){]}^{g(x)}=e^L.$$

也可利用

$$[1+f(x){]}^{g(x)}=e^{g(x)\ln [1+f(x)]},\ln [1+f(x)]\sim f(x),$$

将幂式极限转化为指数中乘积的极限。