函数与极限

Chapter

第一章

函数与极限

二、函数的概念

1. 函数的定义

设 $D$ 是一个给定的非空实数集合，$D\subset \mathbb{R}$，则称映射 $f:D\to \mathbb{R}$ 为定义在集合 $D$ 上的一个函数，并将由对应法则 $f$ 所确定的 $x$ 与 $y$ 之间的对应关系记为：

$$y=f(x),x\in D.$$

其中，$D$ 为定义域，$x$ 为自变量，$y$ 为因变量，$f$ 为对应法则。

如果 $x_0\in D$，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值记为 $f(x_0)$ 或 $y{|}_{x=x_0}$。

当 $x$ 取遍 $D$ 内各个数值时，相应的函数值 $f(x)$ 的全体所组成的数集

$$R_f=\{y\mid y=f(x),x\in D\}$$

称为函数的值域。

函数的定义域有多种等价的表示方式。例如，$y=\frac{1}{x}$ 的定义域可以表示为

$$\{x\mid x\in \mathbb{R}\text{ 且 }x\ne 0\}$$

也可以表示为

$$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty ).$$

给出一个函数 $y=f(x)$，如果没有标明函数的定义域，则默认定义域为函数的自然定义域，即使函数有意义的一切实数组成的集合。若给出 $y=f(x)$ 且 $x\in D$，则定义域为 $D$。

定义域和对应法则是函数的两个基本要素。两个函数相同的充要条件是定义域和对应法则都相同，而与用哪个字母表示函数无关。例如，$s=\frac{1}{t}$ 与 $y=\frac{1}{x}$ 是相同函数。

条件类型	定义
充分条件	若 $p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件
必要条件	若 $q\Rightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件
充分不必要条件	若 $p\Rightarrow q$ 但 $q\nRightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件
必要不充分条件	若 $q\Rightarrow p$ 但 $p\nRightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件
充分必要（充要）条件	若 $p\Rightarrow q$ 且 $q\Rightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件
既不充分也不必要条件	若 $p\nRightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件

2. 函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种：解析法（也称公式法）、图形法、表格法。

3. 特殊函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。

分段函数的定义域为各段函数定义域的并集。

绝对值函数：

$$y=|x|=\{\begin{array}{ll}-x,& x<0,\\ x,& x\ge 0.\end{array}$$

绝对值函数的定义域为 $(-\infty ,+\infty )$，值域为 $[0,+\infty )$，是一种特殊的分段函数。

常函数 $y=C$（$C$ 为常数）称为常函数，定义域为 $(-\infty ,+\infty )$。

三、函数的性质

1. 单调性

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subset D$。对于区间 $I$ 内任意两点 $x_1,x_2$，有：

条件	$f(x)$ 的单调性
$x_1<x_2$ 时，有 $f(x_1)<f(x_2)$	单调增加或单调递增
$x_1<x_2$ 时，有 $f(x_1)>f(x_2)$	单调减少或单调递减

单调增加与单调减少统称为单调。

Important点拨

函数 $f(x)$ 在某区间内单调，不能脱离区间而言。如果没有指明区间而说“$f(x)$ 为单调函数”，应当理解为函数 $f(x)$ 在其定义域内为单调函数。

通常借助函数的图形或用导数与 $0$ 的大小关系来判定函数的单调性。

2. 奇偶性

设函数 $y=f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，即若 $x\in D$，则 $-x\in D$。

如果对于 $D$ 内任意一点 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$，则称函数 $f(x)$ 为 $D$ 内的偶函数；

如果对于 $D$ 内任意一点 $x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称函数 $f(x)$ 为 $D$ 内的奇函数。

既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数。

由定义可知，函数的奇偶性要以定义域关于原点对称为前提条件。若定义域关于原点不对称，则该函数必不是奇函数也不是偶函数。

判断函数 $f(x)$ 的奇偶性的一般步骤如下：

1. 判对称：求出函数的定义域，看其是否关于原点对称。若关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数；若关于原点对称，则转到下一步。
2. 求 $f(-x)$：将 $x$ 替换为 $-x$，求出 $f(-x)$。
3. 定奇偶：若 $f(-x)=f(x)$，则 $f(x)$ 为偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$，则 $f(x)$ 为奇函数；若均不满足，则 $f(x)$ 为非奇非偶函数。

3. 有界性

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $Y\subset D$。若存在实数 $M>0$，对于该数集内任意的 $x$，恒有

$$|f(x)|\le M,$$

则称函数 $f(x)$ 在该数集内为有界函数。若不存在这样的正数 $M$，则称 $f(x)$ 在该数集内为无界函数。

4. 周期性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。若存在实数 $T>0$，对任意 $x\in D$，都有 $x\pm T\in D$，且

$$f(x\pm T)=f(x),$$

则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为函数 $f(x)$ 的一个周期。

使上述关系成立的最小正数 $T$ 称为函数 $f(x)$ 的最小正周期。

四、反函数

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D_f$，值域为 $R_f$。如果对于 $R_f$ 内的每一个 $y$，由 $y=f(x)$ 可以唯一确定一个 $x\in D_f$，这样在 $R_f$ 上定义了一个以 $y$ 为自变量的函数，称为 $y=f(x)$ 的反函数，记为

$$x=f^{-1}(y)\text{或}x=\phi (y),y\in R_f.$$

由于习惯上用 $x$ 表示自变量，用 $y$ 表示因变量，常将 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 写成

$$y=f^{-1}(x).$$

相对于反函数 $y=f^{-1}(x)$ 来说，原来的函数 $y=f(x)$ 称为直接函数。

在同一坐标系中，$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图形关于直线 $y=x$ 对称。若函数 $y=f(x)$ 的图形过点 $(m,n)$，则函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图形过点 $(n,m)$。

五、函数的四则运算与复合运算

1. 四则运算

给定两个函数 $f(x)$（$x\in D_1$）和 $g(x)$（$x\in D_2$），记

$$D=D_1\cap D_2,$$

若 $D\ne \varnothing$，则在 $D$ 上定义 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的和、差、积运算如下：

$$F(x)=f(x)+g(x),x\in D;$$ $$G(x)=f(x)-g(x),x\in D;$$ $$H(x)=f(x)g(x),x\in D.$$

在 $D$ 中剔除使 $g(x)=0$ 的 $x$ 值，即令

$$D^{\prime }=D_1\cap \{x\mid g(x)\ne 0,x\in D_2\},$$

且 $D^{\prime }\ne \varnothing$，则可在 $D^{\prime }$ 上定义 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的商运算：

$$L(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D^{\prime }.$$

2. 复合运算

设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，函数 $u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$，且其值域 $R_g\subset D_f$，则由下式确定的函数

$$y=f[g(x)],x\in D_g$$

称为由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 构成的复合函数。其中，变量 $u$ 称为中间变量，$f$ 称为外函数，$g$ 称为内函数。函数 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 按“先内后外”的次序复合，也可记为 $f\circ g$。

复合函数也可由两个以上的函数相继复合而成。复合时，外函数的定义域必须包含内函数的值域，复合函数的定义域由内函数的取值范围确定。

Important重点提示

定义域是指自变量的取值范围。$f[g(x)]$ 的自变量是 $x$，定义域指 $x$ 的取值范围；$f(u)$ 中，$u$ 是自变量，定义域指 $u$ 的取值范围。

六、基本初等函数

基本初等函数是高等数学知识的基础，必须重点掌握基本初等函数的定义、值域、图形和性质。

1. 幂函数

幂函数的解析式为

$$y=x^{\mu },\mu \in \mathbb{R}.$$

幂函数的定义域和值域随 $\mu$ 而异，但不论 $\mu$ 为何值，$y=x^{\mu }$ 在 $(0,+\infty )$ 内总有定义。

幂函数的常用性质：

• 图形恒过点 $(1,1)$；
• 当 $\mu >0$ 时，在第一象限内单调递增；
• 当 $\mu <0$ 时，在第一象限内单调递减。

常用的运算法则：

$$x^{-n}=\frac{1}{x^n};$$ $$\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n};$$ $$x^m\cdot x^n=x^{m+n};$$ $$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}};$$ $$(x^m{)}^n=x^{mn}.$$

Important点拨

在使用 $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$ 时，要注意 $x<0$ 时，先偶次方再开 $n$ 次方的结果是正数，例如 $\sqrt{x^2}=|x|$。

常用幂函数的定义域和奇偶性：

函数	定义域	奇偶性
$y=x$	$\mathbb{R}$	奇函数
$y=x^2$	$\mathbb{R}$	偶函数
$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$	$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$	奇函数
$y=x^3$	$\mathbb{R}$	奇函数
$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$	$[0,+\infty )$	非奇非偶函数
$y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$	$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$	偶函数

2. 指数函数

指数函数的解析式为

$$y=a^x,a>0,a\ne 1.$$

指数函数的定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0,+\infty )$。

指数函数的常用性质：

• 图形在 $x$ 轴上方；
• 恒过点 $(0,1)$；
• 当 $a>1$ 时，单调递增；
• 当 $0<a<1$ 时，单调递减。

常用的运算法则：

$$a^{-x}=\frac{1}{a^x};$$ $$\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}}=a^{x_1-x_2};$$ $$a^{x_1}\cdot a^{x_2}=a^{x_1+x_2};$$ $$(a^{x_1}{)}^{x_2}=a^{x_1{x}_2}.$$

当 $a=e$ 时，函数为 $y=e^x$。其中 $e=2.71828\cdots$ 是一个重要极限的值，是一个无理数。

3. 对数函数

对数函数的解析式为

$$y={\log }_{a}x,a>0,a\ne 1.$$

对数函数的定义域为 $(0,+\infty )$，值域为 $\mathbb{R}$。

对数函数的常用性质：

• 图形在 $y$ 轴右方；
• 恒过点 $(1,0)$；
• 当 $a>1$ 时，单调递增；
• 当 $0<a<1$ 时，单调递减。

常用的运算法则：

$${\log }_{a}a=1;$$ $${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN);$$ $${\log }_{a}M-{\log }_{a}N={\log }_a\frac{M}{N};$$ $${\log }_a{M}^r=r{\log }_{a}M;$$ $${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a};$$ $$x=e^{\ln x};$$ $$a^x=e^{x\ln a}=e^{\ln a^x};$$ $$a^x=y⟺x={\log }_{a}y.$$

其中 $b>0$，$c>0$，$c\ne 1$，$M>0$，$N>0$。

以 $a=e$ 为底的对数函数称为自然对数，记为 $y=\ln x$；以 $a=10$ 为底的对数函数称为常用对数，记为 $y=\lg x$。

Important点拨

指数函数 $y=a^x$ 与对数函数 $y={\log }_{a}x$ 互为反函数，它们的图形关于直线 $y=x$ 对称。

4. 三角函数

（1）正弦函数

$$y=\sin x$$

定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $[-1,1]$。正弦函数是奇函数，以 $2\pi$ 为周期，有界。

（2）余弦函数

$$y=\cos x$$

定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $[-1,1]$。余弦函数是偶函数，以 $2\pi$ 为周期，有界。

（3）正切函数

$$y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

定义域为

$$\{x\mid x\in \mathbb{R},x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\},$$

值域为 $\mathbb{R}$。正切函数是奇函数，以 $\pi$ 为周期。

（4）余切函数

$$y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

定义域为

$$\{x\mid x\in \mathbb{R},x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\},$$

值域为 $\mathbb{R}$。余切函数是奇函数，以 $\pi$ 为周期。

（5）正割函数与余割函数

正割函数：

$$y=\sec x=\frac{1}{\cos x},$$

定义域为

$$\{x\mid x\in \mathbb{R},x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$$

余割函数：

$$y=\csc x=\frac{1}{\sin x},$$

定义域为

$$\{x\mid x\in \mathbb{R},x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$$

Important重点提示

基本关系：

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1;$$$$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x;$$$$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x;$$$$\sin x\cdot \csc x=1;$$$$\tan x\cdot \cot x=1;$$$$\cos x\cdot \sec x=1.$$

三角恒等变换：

$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x;$$$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

三角函数诱导公式：

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x;$$$$\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x.$$

5. 反三角函数

反正弦函数 $y=\arcsin x$ 的定义域为 $[-1,1]$，值域为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，是奇函数、单调递增函数、有界函数。

反余弦函数 $y=\arccos x$ 的定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[0,\pi ]$，是单调递减函数、有界函数。

反正切函数 $y=\arctan x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，是奇函数、单调递增函数、有界函数。

反余切函数 $y=\mathrm{arccot}x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0,\pi )$，是单调递减函数、有界函数。

反三角函数与三角函数的对应关系：

$$y=\arcsin x\text{ 是 }y=\sin x\text{ 在 }\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\text{ 上的反函数};$$ $$y=\arccos x\text{ 是 }y=\cos x\text{ 在 }[0,\pi ]\text{ 上的反函数};$$ $$y=\arctan x\text{ 是 }y=\tan x\text{ 在 }\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\text{ 内的反函数};$$ $$y=\mathrm{arccot}x\text{ 是 }y=\cot x\text{ 在 }(0,\pi )\text{ 内的反函数}.$$

常用的三角函数值和反三角函数值如下：

正弦函数值	反正弦函数值	余弦函数值	反余弦函数值	正切函数值	反正切函数值
$\sin 0=0$	$\arcsin 0=0$	$\cos 0=1$	$\arccos 1=0$	$\tan 0=0$	$\arctan 0=0$
$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$	$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$	$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$	$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{6}$
$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$	$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$	$\tan \frac{\pi }{4}=1$	$\arctan 1=\frac{\pi }{4}$
$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$	$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$	$\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$	$\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$	$\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$
$\sin \frac{\pi }{2}=1$	$\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$	$\cos \frac{\pi }{2}=0$	$\arccos 0=\frac{\pi }{2}$	—	—

七、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成，并能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。

考点 1：求函数的定义域

（1）常用的基本初等函数的定义域

1. $y=\frac{1}{x}$，定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$；

2. $y=x^n$（$n\in {\mathbb{N}}_{+}$），定义域为 $(-\infty ,+\infty )$；

3. $y=e^x$，定义域为 $(-\infty ,+\infty )$；

4. $y=\sqrt[2n]{x}$（$n\in {\mathbb{N}}_{+}$），定义域为 $[0,+\infty )$；

5. $y={\log }_{a}x$，定义域为 $(0,+\infty )$；

6. $y=\sin x$ 或 $y=\cos x$，定义域为 $(-\infty ,+\infty )$；

7. $y=\arcsin x$ 或 $y=\arccos x$，定义域均为 $[-1,1]$；

8. $y=\arctan x$ 或 $y=\mathrm{arccot}x$，定义域均为 $(-\infty ,+\infty )$；

9. $y=\tan x$，定义域为

   $$\{x\mid x\in \mathbb{R},x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\};$$

10. $y=\cot x$，定义域为

    $$\{x\mid x\in \mathbb{R},x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}.$$

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。

（2）求函数定义域的一般类型

① 具体函数的定义域

类型	方法
初等函数的定义域	判断题中所给函数各部分应满足的不等式，取各不等式解集的交集
分段函数的定义域	取各段函数定义域的并集

② 抽象函数的定义域

已知条件	方法
已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，求 $f[\phi (x)]$ 的定义域	由 $a\le x\le b$ 得 $a\le \phi (x)\le b$，则 $\phi (x)$ 中 $x$ 的取值范围即为 $f[\phi (x)]$ 的定义域
已知 $f[\phi (x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，求 $f(x)$ 的定义域	方法一：由 $f[\phi (x)]$ 中 $a\le x\le b$ 求出 $\phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域，即为 $f(x)$ 的定义域；方法二：若 $\phi (x)$ 存在反函数，令 $\phi (x)=t$，得 $x={\phi }^{-1}(t)$，再令 $a\le {\phi }^{-1}(t)\le b$，所得 $t$ 的取值范围即为 $f(x)$ 的定义域