三角函数常用重要不等式

Chapter

三角函数

常用重要不等式

角度必须用弧度。

$$\boxed{\sin x<x<\tan x}\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$$

由此可得：

$$\boxed{\sin x<x}\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$$ $$\boxed{\cos x<\frac{\sin x}{x}<1}\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$$ $$\boxed{1-\cos x<x\sin x}\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$$

推广到任意实数：

$$\boxed{|\sin x|\le |x|}(x\in \mathbb{R})$$ $$\boxed{1-\cos x\le \frac{x^2}{2}}(x\in \mathbb{R})$$

常用的三角函数范围：

$$\boxed{-1\le \sin x\le 1},\boxed{-1\le \cos x\le 1}.$$

因此：

$$|\sin x|\le 1,|\cos x|\le 1.$$

在 $x\to 0$ 的极限中，还常用：

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$$ $$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}}$$

其中最核心、最常用的是：

$$\boxed{\sin x<x<\tan x\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)}.$$