不定积分的计算：分部积分法

设函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 具有连续导数，那么这两个函数乘积的导数公式为

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }.$$

移项得

$$u^{\prime }v=(uv{)}^{\prime }-u{v}^{\prime }.$$

对这个等式两边求不定积分，得

$$\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=uv-\int v{u}^{\prime }\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

也可将公式（4-1）写成如下形式：

$$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u.\text{\hspace{1em}(4-2)}$$

公式（4-1）和（4-2）称为分部积分公式。它可以将一个积分分成两部分，其中运用分部积分法的关键是恰当地选取 $u$ 和 $v^{\prime }$。当后面这个积分较容易时，分部积分公式就起到了化难为易的作用。

一、分部积分法的选取原则

1. 当被积函数是幂函数与正弦型函数（或余弦型函数）的乘积时，通常选取幂函数为 $u$，其余为 $v^{\prime }$。
2. 当被积函数是幂函数与对数型函数（或反三角型函数）的乘积时，通常选取对数型函数（或反三角型函数）为 $u$，其余为 $v^{\prime }$。
3. 当被积函数是指函数与三角函数的乘积时，$u$ 和 $v^{\prime }$ 可任意选取，但通常采用循环分部积分。

二、典型例题

【例14】

求不定积分

$$\int x{e}^x\mathrm{d}x.$$

解：设 $u=x$，$v^{\prime }=e^x$，则 $\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$，于是

$$\begin{array}{rl}\int x{e}^x\mathrm{d}x& =\int x\mathrm{d}{e}^x\\ & =x{e}^x-\int e^x\mathrm{d}x\\ & =(x-1)e^x+C.\end{array}$$

点拨：若设 $u=e^x$，$v^{\prime }=x$，则 $\mathrm{d}v=x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(x^2/2)$，所得积分 $\int x^2{e}^x\mathrm{d}x$ 反而更难，说明这样选取 $u$ 和 $v^{\prime }$ 是不适合的。

【例15】

求不定积分

$$\int x\cos x\mathrm{d}x.$$

设 $u=x$，$v^{\prime }=\cos x$，则 $\mathrm{d}v=\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)$，得

$$\int x\cos x\mathrm{d}x=x\sin x-\int \sin x\mathrm{d}x=x\sin x+\cos x+C.$$

【例16】

求不定积分

$$\int \ln x\mathrm{d}x.$$

设 $u=\ln x$，$v^{\prime }=1$，则 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，得

$$\begin{array}{rl}\int \ln x\mathrm{d}x& =x\ln x-\int x\mathrm{d}(\ln x)\\ & =x\ln x-\int \mathrm{d}x\\ & =x\ln x-x+C.\end{array}$$

【例17】

求不定积分

$$\int \arcsin x\mathrm{d}x.$$

设 $u=\arcsin x$，$v^{\prime }=1$，则 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，得

$$\begin{array}{rl}\int \arcsin x\mathrm{d}x& =x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\\ & =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C.\end{array}$$

【例18】

求不定积分

$$\int e^x\sin x\mathrm{d}x.$$

采用循环分部积分。设 $u=\sin x$，$v^{\prime }=e^x$，得

$$\begin{array}{rl}\int e^x\sin x\mathrm{d}x& =e^x\sin x-\int e^x\cos x\mathrm{d}x\\ & =e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\mathrm{d}x.\end{array}$$

移项整理得

$$\int e^x\sin x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C.$$

也可先令 $u=e^x$，$v^{\prime }=\sin x$，得到同一结果。对数及三角函数优先选 $u$，幂函数放最后；三角函数交叉使用 $u$、$\mathrm{d}v$ 记忆即可。

【例19】

求不定积分

$$\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x.$$

方法一：凑微分法。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x& =\int \frac{x-1+1}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x\\ & =\int \sqrt{x-1}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{3}(x-1{)}^{3/2}+2\sqrt{x-1}+C.\end{array}$$

方法二：第二类换元法。 令 $t=\sqrt{x-1}$，即 $x=1+t^2$，则 $\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，所以

$$\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x=2\int (1+t^2)\mathrm{d}t=2t+\frac{2}{3}{t}^3+C,$$

代回 $t=\sqrt{x-1}$，得

$$\frac{2}{3}(x-1{)}^{3/2}+2\sqrt{x-1}+C.$$

方法三：分部积分法。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}x& =\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}\mathrm{d}(x-1)\\ & =\int x\mathrm{d}(2\sqrt{x-1})-2\int \sqrt{x-1}\mathrm{d}x\\ & =2x\sqrt{x-1}-\frac{4}{3}(x-1{)}^{3/2}+C.\end{array}$$

三种方法所得结果只差一个常数，实际计算时应选取最简便的方法。