三、有理函数的不定积分

所有有理函数，就是两个多项式之商

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

所表示的函数。有理函数的解题流程如下：

$$\begin{array}{c}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)},n<m\text{真分式}⟶\text{拆分成部分分式之和}\\ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)},n\ge m\text{假分式}⟶\text{多项式除法}⟶\text{拆分成整式+部分分式之和}\end{array}$$

这里只讨论有理函数中 $P(x),Q(x)$ 均为最高二次的不定积分，具体分为以下三种情况。

一、分子为常数或一次式

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\text{常数}}{\text{一次多项式}}$$

形式的真分式，其积分可利用基本积分公式、不定积分的性质或凑微分法求解。

二、分子为一次式、分母为二次式

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{mx+n}{x^2+px+q}$$

可分为以下三种情况。

1. $p^2-4q>0$

此时 $x^2+px+q$ 可以因式分解为 $(x+a)(x+b)$，可用待定系数法拆为两个部分分式之和后再积分。具体步骤如下：

1. 因式分解：将分母化为 $(x+a)(x+b)$ 的形式。

2. 设待定系数：

   $$\frac{mx+n}{(x+a)(x+b)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}.$$

3. 去掉分母：

   $$mx+n=A(x+b)+B(x+a).$$

4. 求解系数：依次令 $x=-a$ 和 $x=-b$，快速解出 $A,B$。

5. 系数回代：将被积函数化为两个部分分式之和。

6. 积分求解：对两个分式分别积分。

【例20】

求不定积分

$$\int \frac{x-2}{x^2+3x+2}\mathrm{d}x.$$

解：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x-2}{x^2+3x+2}\mathrm{d}x& =\int \frac{x-2}{(x+2)(x+1)}\mathrm{d}x\\ & =\int \left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\right)\mathrm{d}x\\ & =-3\ln |x+1|+4\ln |x+2|+C.\end{array}$$

其中由 $x-2=A(x+2)+B(x+1)$，令 $x=-1,-2$ 可得 $A=-3,B=4$。

2. $p^2-4q=0$

此时 $x^2+px+q=(x+a{)}^2$，可直接配方并利用基本积分公式求解。

3. $p^2-4q<0$

此时二次式不能因式分解，需先配方，再利用

$$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C,\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$$

等基本积分公式求解。

三、分子次数不小于分母次数

当 $n\ge m$ 时，先作多项式除法，将有理函数化为整式与真分式之和，再分别积分。

四、补充例题

【例11】

求不定积分

$$\int \frac{2x^2+3}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$

解：被积函数是二次多项式之比的假分式，可将其分解为“常数+真分式”后再积分。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{2x^2+3}{1+x^2}\mathrm{d}x& =\int \frac{2x^2+2+1}{1+x^2}\mathrm{d}x\\ & =\int \left(2+\frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x\\ & =2x+\arctan x+C.\end{array}$$