不定积分的换元法

一、第一类换元法

设 $f(u)$ 的一个原函数为 $F(u)$，且 $u=\phi (x)$ 可导。如果

$$g(x)=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x),$$

则可以把 $\phi (x)$ 看作新的变量，得到

$$\begin{array}{rl}\int g(x)\mathrm{d}x& =\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =\int f(\phi (x))\mathrm{d}\phi (x)\\ & ={\int f(u)\mathrm{d}u|}_{u=\phi (x)}\\ & =F(\phi (x))+C.\end{array}$$

定义第一类换元法Definition

第一类换元法通过代换 $u=\phi (x)$，把含有复合函数及其导数因子的积分化为关于 $u$ 的积分。实际计算时，关键是识别被积表达式中的 $f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。这种方法也称为凑微分法。

Important计算提示

换元后要把积分中的所有 $x$ 都改写成新变量 $u$，最后再代回 $u=\phi (x)$，并补上任意常数 $C$。

二、常用微分公式

下面的微分关系可以直接作为积分公式使用。涉及 $x^{-1}$、$\ln |x|$ 或反三角函数时，应同时注意定义域条件。

1. $\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{d}(ax)(a\ne 0)$。
2. $e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(e^x)$。
3. $\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\left(-\frac{1}{x}\right)(x\ne 0)$。
4. $x^{\mu }\mathrm{d}x=\frac{1}{\mu +1}\mathrm{d}\left(x^{\mu +1}\right)(\mu \ne -1)$。
5. $\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\mathrm{d}(\sqrt{x})(x>0)$。
6. $\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\ln |x|)(x\ne 0)$。
7. $\sin x\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos x)$。
8. $\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)$。
9. $\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\mathrm{d}\left(\arcsin \frac{x}{a}\right)(a>0)$。
10. $\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{d}\left(\arctan \frac{x}{a}\right)(a>0)$。
11. ${\csc }^{2}x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(-\cot x)$。
12. ${\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\tan x)$。

三、三角函数积分公式的推导

1. 正切函数

$$\begin{array}{rl}\int \tan x\mathrm{d}x& =\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x\\ & =-\int \frac{1}{\cos x}\mathrm{d}(\cos x)\\ & =-\ln |\cos x|+C.\end{array}$$

2. 余切函数

$$\begin{array}{rl}\int \cot x\mathrm{d}x& =\int \frac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{\sin x}\mathrm{d}(\sin x)\\ & =\ln |\sin x|+C.\end{array}$$

3. 正割函数

$$\begin{array}{rl}\int \sec x\mathrm{d}x& =\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{{\sec }^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{\sec x+\tan x}\mathrm{d}(\sec x+\tan x)\\ & =\ln |\sec x+\tan x|+C.\end{array}$$

4. 余割函数

$$\begin{array}{rl}\int \csc x\mathrm{d}x& =\int \frac{\csc x(\cot x-\csc x)}{\cot x-\csc x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{\csc x\cot x-{\csc }^{2}x}{\cot x-\csc x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{\cot x-\csc x}\mathrm{d}(\cot x-\csc x)\\ & =\ln |\cot x-\csc x|+C.\end{array}$$

Important公式使用

上面的四个积分结果都可以直接作为公式使用；使用对数公式时要保留绝对值，并根据被积函数的定义域理解结果。

四、第二类换元法

有些被积函数不容易直接写成第一类换元法的形式。这时可以令原变量 $x$ 表示成新变量 $t$ 的函数：

$$x=\psi (t).$$

若 $\psi (t)$ 单调、可导，且 ${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$，并且 $\int f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ 存在原函数，则有第二类换元公式

$$\int f(x)\mathrm{d}x={\int f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t|}_{t={\psi }^{-1}(x)}.$$

其中 $t={\psi }^{-1}(x)$ 是 $x=\psi (t)$ 的反函数。第二类换元法的核心，是先用 $x=\psi (t)$ 把难积分化为关于 $t$ 的易积分，完成积分后再代回 $t={\psi }^{-1}(x)$。

五、含根式时的代换

当被积函数含有

$$\sqrt[n]{ax+b},$$

其中 $n$ 为正整数，$a,b$ 为常数且 $a\ne 0$，可令

$$t=\sqrt[n]{ax+b}.$$

两边同时取 $n$ 次方并整理，得到

$$x=\frac{1}{a}\left(t^n-b\right),\mathrm{d}x=\frac{n}{a}{t}^{n-1}\mathrm{d}t.$$

代换后，根式被 $t$ 的幂取代，通常可以把积分化成有理式或幂函数的积分。

方法根式代换步骤Method

1. 令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$。
2. 由 $t^n=ax+b$ 解出 $x$，并求出 $\mathrm{d}x$。
3. 将积分中的 $x$、$\mathrm{d}x$ 和根式全部改写成 $t$ 的表达式。
4. 对 $t$ 积分后，再代回 $t=\sqrt[n]{ax+b}$。