先把问题放回原处
分析学最开始的问题并不是极限，而是“数轴上的每一个位置是否可靠”。自然数让计数有落点，整数让减法有落点，分数让除法和比例有落点，实数则让连续变化有了可以安放的地方。
实数系统
实数系统是一套能够支持大小比较、四则运算与极限过程的数。它把离散的计算对象和连续的变化过程放进同一条数轴。
为什么需要完备性
一个逼近过程
不断截取平方根为 2 的小数近似，会得到一串越来越稳定的数。完备性保证这条收敛的过程不会在实数之外突然失去落点。
数学分析的许多定理，最后都在保护这件事：一个受控制的逼近过程，应该能够在系统内部找到它的结果。